Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Diện tích tam giác vuông
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Diện tích tam giác vuông
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho lăng trụ đứng có đáy
là hình thoi cạnh bằng 1,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối lăng trụ.
Hình thoi có
, suy ra
. Do đó tam giác
và
là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ là:
Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
.
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
,
và
. Tổng diện tích hai tam giác
và
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp
?
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Tam giác cân tại
suy ra
với
.
Vì suy ra
và
Kẻ
Ta có
Tam giác vuông tại
nên
Giải hệ:
hoặc
Vậy thể tích khối chóp
Cho hình chóp đều . Gọi
là trung điểm
,
là điểm đối xứng với
qua
. Mặt phẳng
chia khối chóp
thành hai phần có thể tích lần lượt là
với
. Tính tỉ số
.
Gọi lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp
. Khi đó
. Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F. Tam giác
có A, N lần lượt là trung điểm của BM và SB.
Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.
Vì tứ giác là hình bình hành nên F là trung điểm MC.
Ta có . Xét tỉ số:
Mặt khác, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp là:
Do đó
Suy ra .
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.
Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ là:
Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Cho hình hộp chữ nhật có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.
Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng
, các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho
. Thể tích của khối đa diện
là bao nhiêu? (Đơn vị:
)
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối
Ta có
Nên
Mà
.
Vậy .
Cho hình chóp có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông;
và
hợp với đáy một góc bằng
. Mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với
, cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tính thể tích khối chóp
.
Cho hình chóp có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông;
và
hợp với đáy một góc bằng
. Mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với
, cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tính thể tích khối chóp
.
V/10 || V phần 10
Ta có . Tương tự
nên
.
Mà (do
vuông tại A,
) nên ta có:
Xét tỉ số thể tích, ta được:
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho . Mặt phẳng
chứa cạnh
cắt cạnh
lần lượt tại
. Gọi
lần lượt là thể tích khối chóp
và
. Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích
.
Đặt .
Ta có .
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là .
Cho khối chóp có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.
Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Tính thể tích của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Cho tứ diện đều có cạnh bằng 1. Mặt phẳng
đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác
cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất
của khối tứ diện
.
Gọi E là trung điểm của BC.
Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.
Theo định lí Talet, ta có:
Mặt khác
Do đó .
Đặt
Vì là tứ diện đều
và
Do đó
Ta có
Tính thể tích của khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại A,
. Biết rằng
.
Gọi I là trung điểm BC. Từ , suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Suy ra .
Tam giác , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác là
.
Vậy .
Tính thể tích của khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại B,
; cạnh bên
. Biết hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác
.
Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong .
Theo giả thiết, ta có
Tam giác vuông , có
;
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác là
Vậy .
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp là:
Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng
thay đổi luôn đi qua B, trung điểm
của
và cắt các cạnh
và
lần lượt tại
và
. Tính giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của tỷ số
.
Đặt .
Ta có
Nên ta suy ra được: .
Do đó
Từ vì
Xét , tính đạo hàm của hàm số trên, ta được:
Ta có .
Vậy đạt GTLN và GTNN của tỉ số lần lượt là .