Luyện tập Mặt cầu (Dễ)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông .

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra   (1)

Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên .   (2)

Từ (1) và (2), ta có:

Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên .

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc .

Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính .

Ta có:

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:

 Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn .

Vậy .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I có tọa độ là

(P) cắt (S) khi:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

Gọi H là hình chiếu của O xuống .

Ta có nên cắt theo đường tròn .

Bán kính đường tròn là

Suy ra đường kính bằng .

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Ta có .

Trong , ta có

Ta có .

Mặt khác, ta lại có .

Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

.

 Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)