Với giá trị nào của m thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Cho mặt cầu và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .
Suy ra
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R và mặt phẳng
có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc
. Đường thẳng OM cắt
tại N. Hình chiếu của O trên
là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
Cho hai mặt cầu sau:
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Cho hai mặt cầu sau:
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):
Tâm
bán kính
Tâm
; bán kính
(S) và (S') tiếp xúc trong.
Cho mặt cầu (S): và điểm
. Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.
(Có thể chọn nhiều đáp án)
Theo đề bài, (S) có tâm
Ta có:
đường tròn
Hay
Cho mặt cầu và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho
. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên
Suy ra
Cho mặt cầu và mặt phẳng
. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).
Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại C và
. Mặt phẳng
vuông góc với đáy,
,
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là:
Gọi M là trung điểm AB , suy ra và
.
Do đó SM là trục của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
, bán kính
Ta có
Trong tam giác vuông SMB, ta có .
Ta có , suy ra
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
bằng:
Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, . Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?
Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng
vuông góc với đáy
. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị nào sau đây?
Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Cho hình chóp có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ta có .
Tam giác ABC đều cạnh a nên .
Trong tam giác vuông SHA, ta có .
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .
Ta có
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Suy ra và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra (1).
Ta có (2)
Từ (1) và (2) , suy ra nên
.
Trong tam giác vuông SHE, ta có .
Vậy .
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:
Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
là:
Gọi , suy ra
.
Ta có .
Trong , ta có
.
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.
Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.
Gọi
Xét có
đều.
Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm
.
Bán kính mặt cầu .
Suy ra
Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng . Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
●
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .
Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
là:
Gọi M là trung điểm AC, suy ra
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.
Ta có , suy ra tam giác SAC đều.
Gọi G là trọng tâm , suy ra
. (1)
Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.
Mà G thuộc SM nên suy ra .
Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
Bán kính mặt cầu .