Luyện tập Mặt cầu (Trung bình)

 Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên

cân tại A , trung tuyến AM nên   (1)

Ta có

Do đó    (2)

Từ (1) và (2), suy ra   (*)

Lại có  (**)

Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có

Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính .

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

Theo giả thiết, ta có và

Suy ra .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

●

Bán kính của đường tròn giao tuyến: .

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Ta có .

Trong , ta có

Ta có .

Mặt khác, ta lại có .

Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

.

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Ta có .

Tam giác ABC đều cạnh a nên .

Trong tam giác vuông SHA, ta có .

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .

Ta có

Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.

Suy ra  và  .

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra     (1).

Ta có    (2)

Từ (1) và (2) , suy ra   nên  .

Trong tam giác vuông SHE, ta có .

Vậy .

Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .

Theo giả thiết R = 2m và .

Vậy .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của : 

Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là

Xét là mặt cầu

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng 

tương ứng với .

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và .

Do đó SM là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính

Ta có

Trong tam giác vuông SMB, ta có .

Ta có , suy ra

Gọi , suy ra .

Ta có .

Trong , ta có .

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

Gọi

Xét có     đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm .

Bán kính mặt cầu .

Suy ra