Luyện tập Mặt cầu (Trung bình)

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

Theo giả thiết, ta có và

Suy ra .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của : 

Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là

Xét là mặt cầu

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng 

tương ứng với .

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

●

Bán kính của đường tròn giao tuyến: .

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Gọi , suy ra .

Ta có .

Trong , ta có .

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

Gọi

Xét có     đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm .

Bán kính mặt cầu .

Suy ra

Ta có .

Trong , ta có

Ta có .

Mặt khác, ta lại có .

Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

.

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên

cân tại A , trung tuyến AM nên   (1)

Ta có

Do đó    (2)

Từ (1) và (2), suy ra   (*)

Lại có  (**)

Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có

Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính .

 Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và .

Do đó SM là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính

Ta có

Trong tam giác vuông SMB, ta có .

Ta có , suy ra

Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .

Theo giả thiết R = 2m và .

Vậy .