Lớp 12 Toán 12

Mặt trụ tròn xoay

Bài học Lí thuyết toán 12: Mặt trụ tròn xoay là phần kiến thức trong Khái niệm mặt tròn xoay, giới thiệu cho các em các định nghĩa mặt trụ, hình trụ tròn xoay, công thức tính diện tích, thể tích và thiết diện khi cắt mặt trụ. 

1. Mặt trụ tròn xoay

Định nghĩa:

Trong (P) cho hai đường thẳng \Delta và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay (P) quanh trục cố định \Delta thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

Nhận xét:

  • Đường thẳng \Delta được gọi là trục.
  • Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
  • Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ tròn xoay

Định nghĩa:

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

Nhận xét:

  • Đường thẳng AB được gọi là trục.
  • Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
  • Độ dài đoạn thẳng AB=CD=h được gọi là chiều cao của hình trụ.
  • Hình tròn tâm A, bán kính r=AD và hình tròn tâm B, bán kính r=BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
  • Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công thức tính diện tích và thể tích 

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

  • Diện tích xung quanh của hình trụ:

\boxed{{S_{xq}} = 2\pi rh}

  • Diện tích toàn phần của hình trụ:

\boxed{{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{đ}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}}

  • Thể tích khối trụ:

\boxed{V = B.h = \pi {r^2}h}

Ví dụ:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a\sqrt 3.

Giải:

 

+) Theo đề bài, hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a\sqrt 3 nên

    Diện tích xung quanh hình trụ là:  {S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi a.a\sqrt 3 = 2\pi {a^2}\sqrt 3

    Diện tích đáy của hình trụ là:  {S_{đ}} = \pi {a^2}

+) Áp dụng CT, ta có diện tích toàn phần của hình trụ là:  {S_{tp}} = 2\pi {a^2}\sqrt 3 + 2\pi {a^2} = 2\pi {a^2}(1 + \sqrt 3 )

4. Tính chất

  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp\left( \alpha \right) vuông góc với trục \Delta thì ta được đường tròn có tâm trên \Delta và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp\left( \alpha \right) không vuông góc với trục \Delta nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng \frac{{2r}}{{\sin \varphi }}, trong đó \varphi là góc giữa trục \Delta và mp\left( \alpha \right) với {0^0} < \varphi < {90^0}.

Chú ý:

Cho mp\left( \alpha \right) song song với trục \Delta của mặt trụ tròn xoay và cách \Delta một khoảng d.

  • Nếu d < r thì mp\left( \alpha \right) cắt mặt trụ theo hai đường sinh \Rightarrow Thiết diện là hình chữ nhật.
  • Nếu d = r thì mp\left( \alpha \right) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
  • Nếu d > r thì mp\left( \alpha \right) không cắt mặt trụ.

Ví dụ:

Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông.

Giải:

Theo bài ra thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên hình trụ có bán kính đáy là a, chiều cao 2a. Do đó thể tích khối trụ là: 

V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.2a = 2\pi {a^3}.

Câu trắc nghiệm mã số: 1069,1065,1057,1055,1093,1077,1076,1083
  • 13 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12