Phương trình mặt phẳng

Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình mặt phẳng bao gồm khái niệm VTPT,  phương trình tổng quát mặt phẳng và các trường hợp riêng, đặc biệt. Bên cạnh đó, bài học kèm theo một số ví dụ bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng các em sẽ ôn tập hiệu quả, hướng đến đạt mục tiêu trong các kì thi lớn sắp tới.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Chú ý:

• Nếu là một VTPT của mặt phẳng thì cũng là một VTPT của mặt phẳng .
• Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
• Nếu có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng thì là một VTPT của .

Ví dụ: Mặt phẳng có  một vecto pháp tuyến là

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Nhận xét:

• Nếu mặt phẳng có phương trình thì nó có một VTPT là .
• Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ khác là VTPT là: .

Ví dụ: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Giải:

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Vậy phương trình mặt phẳng là: .

Các trường hợp riêng:

Xét phương trình mặt phẳng : với

• Nếu thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O.

• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục .
• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục .
• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục .

• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với .
• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với .
• Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với .

Ví dụ: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm .

Giải:

Ta có:

.

Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ta có

nên cùng phương với .

Chọn ta được phương trình mặt phẳng là:

Vậy phương trình mp cần tìm là .